Hic Sunt Draconis

La imaginación explora la Terra Incognita.

Estados estacionarios (1)

Nota: lo que sigue está basado en gran parte en la página de Wikipedia Stationary State.

En mecánica cuántica, un estado estacionario es un autovector (autofunción) del hamiltoniano, lo que implica que la densidad de probabilidad asociada con la función de onda es independiente del tiempo. Esto corresponde a un estado cuántico con una energía definida, en lugar de una distribución de probabilidades de distintas energías. También recibe el nombre de autovector de energía, autoestado de energía, autofunción de energía o eigenket de energía.  El concepto es similar al de orbital atómico o molecular en química, con algunas pequeñas diferencias.

El calificativo de estacionario se debe a que la partícula permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en lo que se refiere a cualquier observable. Tiene una distribución de probabilidad constante para su posición, su velocidad, su spin, etc. (lo que es cierto en el supuesto de que el resto del sistema sea también estático, como en el caso en que el hamiltoniano no cambia con el tiempo. La propia función de onda no es estacionaria, sino que su factor de fase (complejo) cambia continuamente, formando una onda estacionaria. De acuerdo con la relación de de Broglie, el producto de la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria por la constante de Planck es la energía del estado.

Los estados estacionarios son estados cuánticos que son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\hat H |\Psi\rangle=E_{\Psi} |\Psi\rangle,
donde

  • |\Psi\rangle es un estado cuántico, que es estacionario si satisface a la ecuación anterior;
  • \hat H es el operador hamiltoniano;
  • E_{\Psi} es un número real, que corresponde al autovalor de la energía del estado |\Psi\rangle.

Esta es una ecuación de autovalor\hat H es un operador lineal en un espacio vectorial,  |\Psi\rangle es un autovector de \hat H, y E_{\Psi} es su correspondiente autovalor.

Si un estado estacionario |\Psi\rangle se inserta en la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, el resultado es:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle = E_{\Psi}|\Psi\rangle

Suponiendo que \hat H es independiente del tiempo, esta ecuación vale para todo valor de t. Así pues, se trata de una ecuación diferencial que describe el modo en que  |\Psi\rangle varía con el tiempo.  Su solución es:

|\Psi(t)\rangle = e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}|\Psi(0)\rangle

Así pues, un estado estacionario es una onda estacionaria (standing wave) que oscila con un factor de fase complejo, y su  frecuencia angular de oscilación es igual al cociente de su energía por \hbar.

File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif

El oscilador armónico. Los estados C, D, E y F son estacionarios, no así G y H.

La figura representa un oscilador armónico en mecánica clásica (A-B) y en mecánica cuántica (C-H). En (A-B) una bola sujeta a un muelle oscila adelante y atrás. (C-H) son seis soluciones de la ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición y el vertical es la parte real (azul) o la imaginaria (rojo) de la función de onda. (C, D, E, F) son estados estacionarios (ondas estacionarias), pero no (G, H).

Propiedades

Como se ha mostrado, un estado estacionario no es matemáticamente constante:

|\Psi(t)\rangle = e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}|\Psi(0)\rangle

Sin embargo, todas las propiedades observables del estado son de hecho constantes. Si, por ejemplo, |\Psi(t)\rangle representa la función de onda unidimensional de una partícula, \Psi(x,t), la probabilidad de que la partícula se halle en la posición x es:

|\Psi(x,t)|^2 = \left| e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}\Psi(x,0)\right|^2 =  \left| e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}\right|^2 \left| \Psi(x,0)\right|^2 = \left|\Psi(x,0)\right|^2

que es independiente del tiempo t.

La representación de Heisenberg es una formulación matemática alternativa de la mecánica cuántica, en la que los estados estaconarios son matemáticamente constantes en el tiempo.

Como se ha mencionado, las ecuaciones anteriores suponen que el hamiltoniano es independiente del tiempo. Esto significa que los estados estacionarios lo son solamente cuando el resto del sistema es fijo y estacionario a la vez. Por ejemplo, el electron 1s  en un  átomo de hidrógeno está en un estado estacionario, pero si el átomo de hidrógeno reacciona con otro átomo, en ese caso el electrón quedará naturalmente perturbado.

QHO2

Tres funciones de onda soluciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el oscilador armónico. Izquierda: la parte real (azul) e imaginaria (rojo) de la función de onda. Derecha: la probabilidad de hallar la partícula en una determinada posición. Las dos filas de la parte superior son estados estacionarios, y la inferior eepresenta una superposición de estados \psi_N \equiv (\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}, que no es un estado estacionario. La columna de la derecha muestra por qué los estados estacionarios reciben ese nombre.

Decaimiento espontáneo

El decaimiento espontáneo complica la cuestión de los estados estacionarios. De acuerdo con la mecánica cuántica no relativista, el átomo de hidrógeno tiene muchos estados estacionarios:  1s, 2s, 2p, etc., Pero en realidad, solamente el estado fundamental 1s es realmente estacionario, dado que un electrón en un nivel de energía superior efectuará una emisión espontánea de uno o más fotones, para decaer en el estado fundamental. Esto parece contradecir la idea de que los estados estacionarios  le corresponden propiedades fijas en el tiempo.

La explicación reside en que el hamiltoniano empleado en la mecánica cuántica no relativista es tan solo una aproximación del verdadero hamiltoniano del universo. Los electrones de estados superiores de energía (2s, 2p, 3s, etc.) son estados estacionario de acuerdo con el hamiltoniano aproximado, pero no de acuerdo con el verdadero hamiltoniano, debido a las fluctuaciones del vacío. Por otra parte, el estado 1s es realmente un estado estacionario de acuerdo com ambos hamiltonianos.

Relación con los orbitales en química

En química, un estado estacionario de un electrón recibe el nombre de    orbital, más concretamente el de orbital atómico para un electrón en un átomo, o bien el de orbital molecular para un electrón en una molécula.  No obstante, existen algunas diferencias entre orbital y estado estacionario. La primera , cuando no hay  acoplamiento de spin orbital, existirán pares de estados estacionarios con la misma configuración espacial, pero con spin de electron opuestos. Estos dos estados se considera que forman un solo orbital; en consecuencia el  principio de exclusión de Pauli permite dos electrones por orbital, pero uno solo por estado estacionario. La segunda diferencia se da porque un orbital  es   usualmente una función de onda que describe a un solo un electrón, a pesar de que el verdadero estado estacionario es un estado de varias partículas que requiere una descripción más complicada (tal como  un determinante de Slater de orbitales individuales). En este caso un orbital es solo aproximadamente un estado estacionario.

diciembre 2, 2012 Posted by | General | | Deja un comentario

Renacer

avefenix5

El Fénix es un ave igual a los dioses celestes, que compite con las estrellas en su forma de vida y en la duración de su existencia, y vence el curso del tiempo con el renacer de sus miembros. No sacia su hambre comiendo ni apaga su sed con fuente alguna.

Claudio Claudiano (el último poeta romano)

marzo 11, 2009 Posted by | General | Deja un comentario

Salutatio

Mas Zaratustra contempló al pueblo y se maravilló. Luego habló así:
El hombre es una cuerda tendida entre el animal y el superhombre, – una cuerda sobre un abismo.
Un peligroso pasar al otro lado, un peligroso caminar, un peligroso mirar atrás, un peligroso estremecerse y pararse.
La grandeza del hombre está en ser un puente v no una meta: lo que en el hombre se puede amar que es un tránsito y un ocaso.
Yo amo a quienes no saben vivir de otro modo que hundiéndose en su ocaso, pues ellos son los que pasan al otro lado.
Yo amo a los grandes despreciadores, pues ellos son los grandes veneradores, y flechas del anhelo hacia la otra orilla.
Yo amo a quienes, para hundirse en su ocaso y sacrificarse, no buscan una razón detrás de las estrellas: sino que se sacrifican a la tierra para que ésta llegue alguna vez a ser del superhombre.
Yo amo a quien vive para conocer y quiere conocer para que alguna vez el superhombre viva. Y quiere así su propio ocaso.
Yo amo a quien trabaja e inventa para construirle la casa al superhombre y prepara para él la tierra, el animal y la planta: pues quiere así su propio ocaso.
Yo amo a quien ama su virtud: pues la virtud es voluntad de ocaso y una flecha del anhelo.
Yo amo a quien no reserva para sí ni una gota de espíritu, sino que quiere ser íntegramente el espíritu de su virtud: avanza así en forma de espíritu sobre el puente.
Yo amo a quien de su virtud hace su inclinación y su fatalidad: quiere así, por amor a su virtud, seguir viviendo y no seguir viviendo.
Yo amo a quien no quiere tener demasiadas virtudes. Una virtud es más virtud que dos, porque es un nudo más fuerte del que se cuelga la fatalidad.
Yo amo a aquel cuya alma se prodiga, y no quiere recibir agradecimiento ni devuelve nada: pues él regala siempre y no quiere conservarse a sí mismo.
Yo amo a quien se avergüenza cuando el dado, al caer, le da suerte, y entonces se pregunta: ¿acaso soy yo un jugador que hace trampas? – pues quiere perecer.
Yo amo a quien delante de sus acciones arroja palabras de oro, y cumple más de lo que promete: pues quiere su ocaso.
Yo amo a quien justifica a los hombres del futuro y redime a los del pasado: pues quiere perecer a causa de los hombres del presente.
Yo amo a quien castiga a su dios porque ama a su dios: pues tiene que perecer por la cólera de su dios.
Yo amo a aquel cuya alma es profunda incluso cuando se le hiere, y que puede perecer a causa de una pequeña vivencia: pasa así de buen grado por el puente.
Yo amo a aquel cuya alma está tan llena que se olvida de sí mismo, y todas las cosas están dentro de él: todas las cosas se trasforman así en su ocaso.
Yo amo a quien es de espíritu libre y de corazón libre: su cabeza no es así más que las entrañas de su corazón, pero su corazón lo empuja al ocaso.
Yo amo a todos aquellos que son como gotas pesadas que caen una a una de la oscura nube suspendida sobre el hombre: ellos anuncian que el rayo viene, y perecen como anunciadores.
Mirad, yo soy un anunciador del rayo y una pesada gota que cae de la nube: mas ese rayo se llama superhombre. –

[Friedrich Nietzsche]

marzo 11, 2009 Posted by | General | Deja un comentario

Carrollia, sabiéndose centenaria, decidió despojarse de su soporte de pulpa para ascender al difuso universo de la web.Allí residirá custodiada por infinidad de electrones. Renace así de entre sus cenizas cual nuevo Ave Fénix.

Tipografía matemática.  Sintaxis del .

enero 16, 2009 Posted by | General | Deja un comentario

Cualquiera tiempo pasado…

¿Cómo era Carrollia en su vida anterior?

Siempre gozó de buena salud, pero la verdad es que fue mejorando con la edad. Aquí la pueden ver a sus 97, por ejemplo.

Portada de Carrollia 97

Portada de Carrollia 97

Banco de pruebas

Escritura letra normal, esto con letra tipo Verdana, pasamos a Trebuchet, aquí en Georgia, en todos los casos a 12 pt.

Como era de esperar podemos escribir en negrita, itálica, subrayar un párrafo, cambiar el color del texto así como el del fondo, y combinaciones de todas esas características.

El texto se escribe en modo wysiwyg (what you see is what you get), pero se tiene acceso al código HTML por si hubiera que resolver algún elemento especial. No es necesario conocer el código HTML, pues se puede preparar la composición en Word, salvar como documento html y finalmente trasladar el código a la página de e-Carrollia.

Naturalmente, es posible efectuar enlaces. Esto resuelve, por ejemplo, el acceso a documentos cuya tipografía matemática sea difícil de efectuar en modo texto. Aparte, claro está, de todas las ventajas que supone el modo hipertexto.

Estas ventajas incluyen, por supuesto, la posibilidad de llamar a una presentación en modo vídeo, como es el caso de este ejemplo en el que vemos a Maria Callas cantando la Habanera de la ópera Carmen de Bizet. Trata al parecer de la técnica para cazar pájaros. Bajen el volumen, la grabación original derrocha decibelios.

Pero es más, gracias al modo HTML podemos atrevernos a incrustar vídeos en la página. Veamos si resulta. Hay dificultades, así que recurriremos a insertar directamente el vídeo.

septiembre 29, 2008 Posted by | General | , | Deja un comentario

eCarrollia

Carrollia, sabiéndose centenaria, decidió despojarse de su soporte de pulpa para ascender al difuso universo de la web.Allí residirá custodiada por infinidad de electrones. Renace así de entre sus cenizas cual nuevo Ave Fénix.
Imagen de prueba
Imagen de prueba

Ahora trataremos de escribir fórmulas matemáticas con la tipografía propia del \LaTeX :

He aquí una fórmula:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=H\left|\Psi(t)\right>

y he aquí otra:

\displaystyle\bar{M}=\frac{kT}{\Xi}\sum_N\left(\frac{\partial Q_N}{\partial D}\right)_{V,T}\lambda^N

y otra

\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2}dx

 

En su nueva morada, la versión transfigurada, e-Carrollia, agradece las visitas atentas y bienintencionadas, así como el siempre bienvenido soplo de sus colaboradores, a quienes aguarda con tanta impaciencia como nostalgia.

 

 

 

 

marzo 1, 2008 Posted by | General | , , , | Deja un comentario

¡Hola, mundo!

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Alicia a través del espejo

Como Alicia, nos disponemos a atravesar el espejo que separa dos realidades.

marzo 1, 2008 Posted by | General | 1 comentario