Hic Sunt Draconis

La imaginación explora la Terra Incognita.

Estados estacionarios (1)

Nota: lo que sigue está basado en gran parte en la página de Wikipedia Stationary State.

En mecánica cuántica, un estado estacionario es un autovector (autofunción) del hamiltoniano, lo que implica que la densidad de probabilidad asociada con la función de onda es independiente del tiempo. Esto corresponde a un estado cuántico con una energía definida, en lugar de una distribución de probabilidades de distintas energías. También recibe el nombre de autovector de energía, autoestado de energía, autofunción de energía o eigenket de energía.  El concepto es similar al de orbital atómico o molecular en química, con algunas pequeñas diferencias.

El calificativo de estacionario se debe a que la partícula permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en lo que se refiere a cualquier observable. Tiene una distribución de probabilidad constante para su posición, su velocidad, su spin, etc. (lo que es cierto en el supuesto de que el resto del sistema sea también estático, como en el caso en que el hamiltoniano no cambia con el tiempo. La propia función de onda no es estacionaria, sino que su factor de fase (complejo) cambia continuamente, formando una onda estacionaria. De acuerdo con la relación de de Broglie, el producto de la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria por la constante de Planck es la energía del estado.

Los estados estacionarios son estados cuánticos que son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\hat H |\Psi\rangle=E_{\Psi} |\Psi\rangle,
donde

  • |\Psi\rangle es un estado cuántico, que es estacionario si satisface a la ecuación anterior;
  • \hat H es el operador hamiltoniano;
  • E_{\Psi} es un número real, que corresponde al autovalor de la energía del estado |\Psi\rangle.

Esta es una ecuación de autovalor\hat H es un operador lineal en un espacio vectorial,  |\Psi\rangle es un autovector de \hat H, y E_{\Psi} es su correspondiente autovalor.

Si un estado estacionario |\Psi\rangle se inserta en la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, el resultado es:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle = E_{\Psi}|\Psi\rangle

Suponiendo que \hat H es independiente del tiempo, esta ecuación vale para todo valor de t. Así pues, se trata de una ecuación diferencial que describe el modo en que  |\Psi\rangle varía con el tiempo.  Su solución es:

|\Psi(t)\rangle = e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}|\Psi(0)\rangle

Así pues, un estado estacionario es una onda estacionaria (standing wave) que oscila con un factor de fase complejo, y su  frecuencia angular de oscilación es igual al cociente de su energía por \hbar.

File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif

El oscilador armónico. Los estados C, D, E y F son estacionarios, no así G y H.

La figura representa un oscilador armónico en mecánica clásica (A-B) y en mecánica cuántica (C-H). En (A-B) una bola sujeta a un muelle oscila adelante y atrás. (C-H) son seis soluciones de la ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición y el vertical es la parte real (azul) o la imaginaria (rojo) de la función de onda. (C, D, E, F) son estados estacionarios (ondas estacionarias), pero no (G, H).

Propiedades

Como se ha mostrado, un estado estacionario no es matemáticamente constante:

|\Psi(t)\rangle = e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}|\Psi(0)\rangle

Sin embargo, todas las propiedades observables del estado son de hecho constantes. Si, por ejemplo, |\Psi(t)\rangle representa la función de onda unidimensional de una partícula, \Psi(x,t), la probabilidad de que la partícula se halle en la posición x es:

|\Psi(x,t)|^2 = \left| e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}\Psi(x,0)\right|^2 =  \left| e^{-iE_{\Psi}t/\hbar}\right|^2 \left| \Psi(x,0)\right|^2 = \left|\Psi(x,0)\right|^2

que es independiente del tiempo t.

La representación de Heisenberg es una formulación matemática alternativa de la mecánica cuántica, en la que los estados estaconarios son matemáticamente constantes en el tiempo.

Como se ha mencionado, las ecuaciones anteriores suponen que el hamiltoniano es independiente del tiempo. Esto significa que los estados estacionarios lo son solamente cuando el resto del sistema es fijo y estacionario a la vez. Por ejemplo, el electron 1s  en un  átomo de hidrógeno está en un estado estacionario, pero si el átomo de hidrógeno reacciona con otro átomo, en ese caso el electrón quedará naturalmente perturbado.

QHO2

Tres funciones de onda soluciones de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para el oscilador armónico. Izquierda: la parte real (azul) e imaginaria (rojo) de la función de onda. Derecha: la probabilidad de hallar la partícula en una determinada posición. Las dos filas de la parte superior son estados estacionarios, y la inferior eepresenta una superposición de estados \psi_N \equiv (\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}, que no es un estado estacionario. La columna de la derecha muestra por qué los estados estacionarios reciben ese nombre.

Decaimiento espontáneo

El decaimiento espontáneo complica la cuestión de los estados estacionarios. De acuerdo con la mecánica cuántica no relativista, el átomo de hidrógeno tiene muchos estados estacionarios:  1s, 2s, 2p, etc., Pero en realidad, solamente el estado fundamental 1s es realmente estacionario, dado que un electrón en un nivel de energía superior efectuará una emisión espontánea de uno o más fotones, para decaer en el estado fundamental. Esto parece contradecir la idea de que los estados estacionarios  le corresponden propiedades fijas en el tiempo.

La explicación reside en que el hamiltoniano empleado en la mecánica cuántica no relativista es tan solo una aproximación del verdadero hamiltoniano del universo. Los electrones de estados superiores de energía (2s, 2p, 3s, etc.) son estados estacionario de acuerdo con el hamiltoniano aproximado, pero no de acuerdo con el verdadero hamiltoniano, debido a las fluctuaciones del vacío. Por otra parte, el estado 1s es realmente un estado estacionario de acuerdo com ambos hamiltonianos.

Relación con los orbitales en química

En química, un estado estacionario de un electrón recibe el nombre de    orbital, más concretamente el de orbital atómico para un electrón en un átomo, o bien el de orbital molecular para un electrón en una molécula.  No obstante, existen algunas diferencias entre orbital y estado estacionario. La primera , cuando no hay  acoplamiento de spin orbital, existirán pares de estados estacionarios con la misma configuración espacial, pero con spin de electron opuestos. Estos dos estados se considera que forman un solo orbital; en consecuencia el  principio de exclusión de Pauli permite dos electrones por orbital, pero uno solo por estado estacionario. La segunda diferencia se da porque un orbital  es   usualmente una función de onda que describe a un solo un electrón, a pesar de que el verdadero estado estacionario es un estado de varias partículas que requiere una descripción más complicada (tal como  un determinante de Slater de orbitales individuales). En este caso un orbital es solo aproximadamente un estado estacionario.

diciembre 2, 2012 - Posted by | General |

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